СЪДЪРЖАНИЕ

XIV. БЕЗКРАЙНИ РЕДОВЕ
§ 77. Числени редове..........................1
1. Дефиниция на безкраен ред. Стр. 1. —2. Свойства и общ критерий за схо-димост. Стр. 4. — 3. Редове с положителни членове. Стр. 6. — 4. Абсолютно сходящи редове. Стр. 7 — 5. Критерий за сходимост на редове с положителни членове. Стр. 7. — б. Критерий на Leibniz (Лайбннц) за алтернативни редове. Стр. 12. — 7. Критерий на Abel (Абел) (1802—1829). Стр. 13. — 8. Умножение на редове. Стр. 15.

§ 78. Степенни редове..........................16

1. Предварителни бележки. Стр. 16. — 2. Радиус на сходимост. Стр. 17. — 3. Производна на степенен ред. Стр. 19. — 4. Интегриране на степенен ред. Стр. 21. — 5. Приложенгя. Стр. 23.

§ 78. Развитие на една функция в степенен ред..............26

1. Тейлоров ред. Стр. 24. — 2. Маклоренов ред. Стр. 25. — 3. Маклоренов ред на ех, sinx, cosx, shx, chx. Стр. 26. — 4. Пресмятане на е. Стр. 27.—

5. Връзка между маклоренов и степенен ред. Стр. 28. — 6. Биномен ред. Стр. 29. — 7. Редът are sin х. Стр. 30. — 8. Развитие в степенен ред посредством метода на неопределените коефициенти. Стр. 31. — 9. Резюме на всички дотук разгледани редове. Стр. 32.

§ 79. Условно и безусловно сходящи редове................33

§ 80. Редове с функционни членове. Равномерна сходимост .......35

1. Понятие за равномерна сходимост. Стр. 35. — 2. Свойства на равномерната сходимост. Стр. 37.

§ 81. Приложения на степенните редове..................42

1. Приблизителни формула. Стр. 42. — 2. Оскулачна парабола. Стр. 42. — 3. Кривина на слабо изкривени криви.. Стр. 43. — 4. Приблизителна конструкция на дъга от окръжност. Стр. 43. — 5. Интегриране чрез редове. Стр. 44. —

6. Ректифициране на еличса. Стр. 46. — 7. Дължина на дъга на лемни ската. Стр. 48. — 8. Елиптични интеграли. Стр. 48. —
§ 82. Редове на Fourier.......................................50

1. Тригонометрични редове. Стр. 50. — 2. Редове на Fourier. Стр. 51.— 3. Примери. Стр. 53. — 4. Условия на Dirichlet. Стр. 56. — 5. Фуриеров ред в произволен интервал. Стр. 57. — 6. Интеграл на Fourier. Стр. 58.

§ 83. Редове с комплексни членове....................60

1. Редове с комплексни членове. Стр. 60.

2. Степенни редове. Стр. 60.—

3. Euler’oea формула. Стр. 61.

§ 84. Въведение в диференциалните уравнения.............64

1. Понятие и класификация на обикновените диференциални уравнения. Стр. 64. — 2. Система обикновени диференциални уравнения. Стр. 66. — 3. Образуване на диференциални уравнения. Стр. 68. — 4. Геометрично тълкуване на едно диференциално уравнение от първи ред. Стр. 69.

XV. ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

IV
Съдържание
97
105
§ 85. Елементарни методи за интегриране на диференциални уравнения от

първи ред........................................................71

1. Отделяне на променливите. Стр. 71, —2. Хомогенни диференциални уравнения. Стр. 72. — 3. Линейни диференциални уравнения. Стр. 76. — 4. Вег-поиШ’ево диференциално уравнение. Стр. 78. — 5. Riccati’eBO диференциално уравнение (1676—1757). Стр. 79.—6. Връзка между Riccati’eBO и линейно хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред. Стр. 81. — 7. Точни диференциални уравнения. Стр. 81. — 8. Интегриращ множител. Стр. 83. —

9. Интегриране чрез предварително диференциране F(x,y') == 0, F(y,y') = 0.

Стр. 87. — 10, Lagrange’eeo диференциално уравнение. Стр. 89. — 11. Clai-raut’eBO диференциално уравнение (1713—1765). Стр. 90. — 12. Траектории.

Стр. 92. — 13. Криви линии на ниво и стръмни линии на повърхнината на един терен. Стр. 96.

§ 87. Понижение на реда и елементарни методи за интегриране на едно

диференциално уравнение от по-висок ред............

1. Интегриране на y(n) = f(x). Стр. 97.-2. Уравнение, което не съдържа непознатата функция. Стр. 100. — 3. Уравнение, което не съдържа независимата променлива. Стр. 102. — 4. Уравнение, хомогенно по у,у',у"......у№.

Стр. 104.

§ 88. Няколко геометрични й технически приложения...........

1. Еластична равнинна крива. Стр. 105. — 2. Клотоида (линия на Cornu, 1874).

Стр. 106.— 3. Крива на преследването, Стр. 107.— 4. Колона с постоянна съпротива на натиск. Стр. 109. — 5. Математично махало. Стр. 111. —

6. Салтомортално движение (schleifenfahrt, looping the loop). Стр. 114.

§ 89. Теорема за съществуване на интеграл на обикновено диференциално

уравнение. Особен интеграл.....................115

1. Съществуване на интеграл на диференциално уравнение от първи ред.

Стр. 115. — 2. Съществуване на интеграл на система диференциални уравнения. Стр. 121. — 3. Особени решения. Стр. 123.

§ 90. Числени и графични интегрирания..................126

1. Приблизително решение на едно диференциално уравнение от първи ред.

Стр. 126. — 2. Метод на Runge и Kutta. Стр. 127. — 3. Система диференциални уравнения и диференциално уравнение от втори ред. Стр. 130. —

4. Графично интегриране на диференциално уравнение от първи ред.

Стр. 132. — 5. Приложение на метода на последователните приближения за графично и числено интегриране на диференциалните уравнения. Стр. 133.

§ 91. Линейни диференциални уравнения. Елементарни методи за интегриране ..............................135

1. Съществуване на интеграл на едно линейно диференциално уравнение.

Стр. 135. — 2. Фундаментална система интеграли на едно хомогенно диференциално уравнение. Стр. 136. — 3. Линейно нехомогенно диференциално уравнение. Стр. 140. — 4. Редукция на линейни диференциални уравнения.

Стр. 143. — 5. Линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Стр. 145. — 6. Линейни хомогенни диференциални уравнения от Euler’oB тип. Стр. 149.— 7. Линейно нехомогенно диференциално уравнение, особен случай. Стр. 150.

§ 92. Линейна система диференциални уравнения.............154

1. Общ интеграл на линейна хомогенна система диференциални уравнения.

Стр. 154. — 2. Общ интеграл на линейна нехомогенна система. Стр. 157. — 3. Линейна система диференциални уравнения с постоянни коефициенти-Стр. 159. — 4. Задачи. Стр. 165.

§ 93. Някои въпроси от обикновени диференциални уравнения. Изследване на интегралните криви в околността на особената точка ..... 167

1. Особени точки. Стр. 167. — 2. Приблизителни диференциални уравнения.

Стр. 169. — 3. Интегриране чрез степенни редове. Сгр. 171. — 4. Сумиране на редоне чрез интегриране на диференциални ураинения. Стр. 176. —
5. Gauss’oBo диференциално уравнение и хипергеометрични редове, Стр. 177—-(Besselovo диференииилно уравнение. Стр. 178.

Съдържание V
$ «4. Приложение на обикновени диференциални уравнения........180

1. Хармоничио трептение. Стр. 180. — 2. Трептение в съпротивителна среда.

Стр. 181. — 3. Принудително трептение в несъпротивителна среда. Стр. 184. —

4. Принудително трептение в съпротивителна среда. Стр. 186. — 5. Крива на

огъване на един еластичен прът, натоварен по дължината му. Стр. 189.—

6. Верижка. Стр. 191. — 7. Гранични условия Натоварена нишка и натоварена греда. Стр. 194.

XVI. ЧАСТНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

§ 95. Общи разглеждания. ........................201

1. Понятие и класификация на частните диференциални уравнения. Стр. 201.—

2. Образуване на частни диференциални уравнения. Стр. 201. — 3. Функ-ционална зависимост. Стр. 204. — 4. Връзка между линейно частно диференциално уравнение и система диференциални уравнения. Пръв интеграл.

Стр. 205.

§ 96. Линейни частни диференциални уравнения от първи ред......208

1. Линейни хомогенни диференциални уравнения. Стр. 208. — 2. Линейни нехомогенни диференциални уравнения. Стр. 209. — 3. Геометрично тълкувание, Стр. 211.

§ 97. Линейни частни диференциални уравнения от втори ред.......215

1. Елементарни частни диференциални уравнения. Стр. 215. — 2. Диференциалното уравнение на трептението на струната. Стр. 216.

XVII. ВАРИАЦИОННО СМЯТАНЕ

§ 98. Предварителни разглеждания....................220

1. Задачи на вариационною смятане. Стр. 220. — 2. Помощна теорема.

Стр. 220.

§ 99. Няколко проблеми от вариационното смятане............221

1. Проблемата при една функции на една независима променлива. Стр. 221. —

2. Първа вариация. Euler — Lagrange’oeo диференциално уравнение.

Стр. 223. — 3. Примери. Стр. 224. — 4. Проблема при няколко функции на една независима променлива. Стр. 227. — 5. Проблема при една функция на няколко независими променливи. Стр. 228. — 6. Проблема при допълнителни условия (изопериметрична проблема). Стр. 228.

XVIII. ФУНКЦИИ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА

§ 100. Аналитична функция........................232

1. Непрекъснатост и диферениируемост на функция на комплексна променлива. Стр. 232. — 2. Диференциални уравнения на Cauchy — Riemann. Уравнение на Laplace (условия за аналитичност). Стр. 233.

§ 101. Конформно изображение.....................234

1. Геометрично представяне. Стр. 234. — 2. Конформно изображение.

Стр. 235.

§ 102. Определен интеграл на комплексна функция............237

1. Използувана литература. Стр. 240.

ПРЕДГОВОР
В тази последна книга давам лекциите по висша математика, които съм чел през 1950 г. на студентите строители, земемери, машинни, електро- и културинженери от Държавната политехника. Тя включва също и останалата част от лекциите, определени за студентите архитекти и химици.

Съдържанието й е върху теория на редовете, Фуриерови редове, обикновени диференциални уравнения от първи и по висок ред, частни диференциални уравнения, вариационно смятане и функции на комплексна променлива. Последните три глави, а особено последните две са разгледани доста кратко, за да се даде само представа на студентите, които при интерес да могат самостоятелно да изучават тези области от математиката, които намират в последно време голямо приложение в техническите дисциплини.

Дължа да изкажа моята благодарност на старшия асистент Ив. Кожухаров и асистента Г. Бояджиев за грижите, които положиха при съставянето на азбучния показател и четене на коректурите.

Септември, 1954 г.

Г. Брадистилов