Друга част на български език не е издавана.

СЪДЪРЖАНИЕ:

*Дяловете, означени със звездички, не са необходими за разбирането на следващия по-нататък материал и могат да се пропускат при първото четене.

ПРЕДГОВОР КЪМ ТРЕТОТО ИЗДАНИЕ 9

ПРЕДГОВОР КЪМ КОРИГИРАНОТО ТРЕТО ИЗДАНИЕ 10

ПРЕДГОВОР КЪМ ПЪРВОТО ИЗДАНИЕ 11

БЕЛЕЖКИ ЗА ПОЛЗУВАНЕТО НА КНИГАТА 13

ВЪВЕДЕНИЕ: СЪЩНОСТ НА ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ

1. Основа 15

2. Методи 17

3. "Статистическа" вероятност 18

4. Резюме 19

5. Исторически бележки 20

Глава 1. ПРОСТРАНСТВО НА ЕЛЕМЕНТАРНИТЕ СЪБИТИЯ (ИЗВАДКОВО ПРОСТРАНСТВО)

1. Емпирични основи 21

2. Примери 23

3. Пространство на елементарните събития. Събития 27

4. Съотношения между събития 28

5. Дискретни пространства на елементарните събития 31

6. Вероятности в дискретни пространства на елементарните събития. Въведение 33

7. Основни дефиниции и правила gg

8. Задачи

Глава II. ЕЛЕМЕНТИ НА КОМБИНАТОРНИЯ АНАЛИЗ

1. Въведение 41

2. Наредени извадки 43

3. Примери 46

4. Подсъвкупности и разложения 48

*5. Приложение в задачите за разпределяне 52

*5 а. Статистика на Бозе—Айнщайн и Ферми—Дирак 55

*5 б. Приложение в сериите 57

6. Хипергеометрично разпределение 59

7. Примери за време на чакане 62

8. Биномни коефициенти 65

9. Формула на Стирлинг 67

Задачи 69

10. Упражнения и примери 69

11. Задачи и допълнения от теоретичен характер 74

12. Задачи и тъждества, включващи биномни коефициенти 78

*Глава III. ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ХВЪРЛЯНЕ НА МОНЕТА И СЛУЧАЙНО ЛУТАНЕ

1. Обща ориентация. Принцип на отражението 84

2. Случайно лутане: основни понятия и означения 89

3. Основна лема 92

4. Последно попадение и дълги водачества 94

*5. Смени на знака 99

6. Експериментална илюстрация 102

7. Максимуми и първи достигания 104

8. Двойственост. Положение на максимумите 107

9. Теорема за равна разпределеност 110

10. Задачи 111

*Глава IV. КОМБИНАЦИИ ОТ СЪБИТИЯ

1. Обединение на събития 114

2. Приложение в класическата задача за разпределяне 117

3. Осъществяване на от от N събития 121

4. Приложение в задачите за съвпадение и отгатване 122

5. Разни 125

6. Задачи 127

Глава V. УСЛОВНА ВЕРОЯТНОСТ. СТОХАСТИЧНА НЕЗАВИСИМОСТ

1. Условна вероятност 130

2. Вероятности, определяни чрез условни вероятности. Урнови модели 134

3. Стохастична независимост 141

4. Произведение на пространства. Независими опити 144

*5. Приложения в генетиката 149

*6. Признаци, свързани с пола 153

*7. Селекция 155

8. Задачи 157

Глава VI. БИНОМНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПОАСОН

1. Опити на Вернули 163

2. Биномно разпределение 164

3. Максимална вероятност и опашки на разпределението 167

4. Закон за големите числа 169

5. Приближение на Поасон 170

6. Разпределение на Поасон 173

7. Наблюдения, които съответствуват на разпределението на Поасон 176

8. Време на чакане. Отрицателно биномно разпределение 181

9. Полиномно разпределение 183

10. Задачи 185

Глава VII. НОРМАЛНО ПРИБЛИЖЕНИЕ НА БИНОМНОТО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

1. Нормално разпределение 191

2. Ориентиране: Симетрични разпределения 196

3. Гранична теорема на Моавър—Лаплас 200

4. Примери 204

5. Връзка с приближението на Поасон 297

*6. Големи отклонения 208

7. Задачи 210

*Глава VIII. НЕОГРАНИЧЕНИ РЕДИЦИ ОТ ОПИТИ НА ВЕРНУЛИ

1. Безкрайни редици от опити 213

2. Системи за игра на хазарт 216

3. Лема иа Борел—Каятели 218

4. Усилен закон за големите числа 220

5. Закон за повторния логаритъм 221

6. Интерпретация на езика на теория на числата 225

7. Задачи 227

Глава IX. СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ; МАТЕМАТИЧЕСКО ОЧАКВАНЕ

1. Случайни величини 229

2. Математическо очакване 238

3. Примери и приложения 240

4. Дисперсия 245

5. Ковариация; дисперсия на сума 247

6. Неравенство на Чебишов 251

*7. Неравенство на Колмогоров 251

*8. Корелационен коефициент 254

9. Задачи

Глава X. ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА

1. Еднакво разпределени случайни величини 261

*2. Доказателство на закона за големите числа 264

3. Теория на "справедливите" игри 266

*4. Петербургска игра 271

5. Случайни величини с различни разпределения 274

*6. Приложения в комёинаторния анализ 276

*7. Усилен закон за големите числа 279

8. Задачи

Глава XI. ЦЕЛОЧИСЛЕНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. ПОРАЖДАЩИ ФУНКЦИИ

1. Общи положения 282

2. Композиции 284

3. Връщане в началото и време на чакане при бернулиеви опити 288

4. Разлагане на прости дроби 293

5. Двумерни пораждащи функции 297

*6. Теорема за непрекъснатост 297

7. Задачи 300

*Глава XII. СЪСТАВНИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ. РАЗКЛОНЯВАЩИ СЕ ПРОЦЕСИ

1. Суми от случаен брой величини 305

2. Съставно разпределение на Поасон 307

3. Примери за разклоняващи се процеси 313

4. Вероятности за отмиране в разклоняващи се процеси 315

5. Общ брой иа потомците при разклоняващи се процеси 317

6. Задачи 320

Глава ХIII. РЕКУРЕНТНИ СЪБИТИЯ. ТЕОРИЯ НА ВЪЗСТАНОВЯВАНЕТО

1. Неформално въведение и примери 322

2. Дефиниции 327

3. Основни зависимости 332

4. Примери 335

5. Закъснели рекурентни събития. Обща гранична теорема 335

6. Брой настъпвания 339

*7. Приложение в теорията на серии от успех 341

*8. По-общи модели 345

9. Липса на памет при геометрично разпределени времена на чакане 347

10. Теория иа възстановяването 348

*11. Доказателство на основната гранична теорема 354

12. Задачи 357

Глава XIV. СЛУЧАЙНО ЛУТАНЕ И ЗАДАЧИ ЗА РАЗОРЯВАНЕ

1. Общи понятия 362

2. Класическа задача за разораване 364

3. Математическо очакваие иа продължителността на играта 368

*4. Пораждащи функции за продължителността на играта и за времената на първо достигане 369

*5. Явни изрази 372

*6. Връзка с дифузиоини процеси 374

*7. Случайно лутане в равнината и пространството 359

*8. Обобщено едномерно случайно лутане (последователен анализ) 382

9. Задачи 387

Глава XV. МАРКОВСКИ ВЕРИГИ

1. Дефиниция 393

2. Пояснителни примери 396

3. Преходни вероятности от по-висок ред 403

4. Затворени обвивки и затворени множества 405

5. Класификация на състояния 408

6. Неравложими вериги. Разложения 411

7. Инвариантни разпределения 414

8. Невъзвратни състояния 420

*9. Периодични Еериги 425

10. Приложение към разбъркването на карти 427

11. Инвариантни мерки. Гранични теореми за частно 429

*12. Обратни вериги. Граници 435

13. Общ марковски процес 442

14. Задачи 446

*Глава XVI. АЛГЕБРИЧЕН ПОДХОД КЪМ КРАЙНИТЕ МАРКОВСКИ ВЕРИГИ

1. Обща теория 451

2. Примери 455

3. Случайно лутане с отразяващи екрани 459

4. Невъзвратни състояния; вероятности на поглъщане 461

5. Приложение към рекурентни времена 465

Глава XVII. НАЙ-ПРОСТИ СТОХАСТИЧНИ ПРОЦЕСИ С НЕПРЕКЪСНАТО ВРЕМЕ

1. Общи понятия. Марковски процеси 467

2. Поасонов процес 468

3. Чист процес на раждане 471

*4. Разходнщи процеси на раждане 473

5. Процеси на раждане и умиране 476

6. Експоненциални времена на обслужване 481

7. Опашки и задачи за обслужване 483

8. Обратни (ретроспективни) уравнения 490

9. Общи процеси 492

10. Задачи 501

ОТГОВОРИ НА ЗАДАЧИТЕ 506

ПОКАЗАЛЕЦ 522


БЕЛЕЖКИ ЗА ПОЛЗУВАНЕТО НА КНИГАТА:

Изложението съдържа отклонения в много посоки и невинаги върви от простото към сложното; сравнително технични дялове има в началото, а лесни дялове — в глави XV и XVII. Неопитните читатели не би трябвало да се опитват да четат много от страничните въпроси, за да не загубят от погледа си гората поради многото дървета. Уводните бележки към главите и звездичките в началото на дяловете ще облекчат ориентацията и избора на това, което може да се пропусне. Дяловете без звездички образуват едно самостоятелно цяло, в което отбелязаните със звездички дялове не се използват.

Първо въвеждане на основните вероятностни понятия се съдържа в глави I, V, VI, IX; начинаещите ще трябва да ги минат с колкото е въможно по-малко изключения. Предназначението на глава II е да развие у студентите технически похвати и вероятностна интуиция; известни познания върху съдържанието й са желателни, но не е необходимо цялата глава да се минава систематично; едно връщане към елементарните примери може да се окаже по-изгодно тогава, когато някой случай се появи по-нататък. За целите на едно първо въведение елементарната теория на непрекъснатите разпределения изисква известни допълнителни обяснения. (Сега вече елементарните глави на том 2 осигуряват подходящ текст.)

Един уводен курс може да премине от глава IX непосредствено на глава XI, разглеждайки пораждащите функции като пример за по-общи трансформации. Глава XI би трябвало да бъде последвана от някои приложения в глави XIII (рекурентни събития или XII (верижни реакции, безгранично делими разпределения). Без пораждащите функции е възможно да се тръгне по едно от следващите направления: гранични теореми и теория на флуктуациите (глави VIII, X, III); стохастични процеси (глава XVII); случайно лутане (глава III и основната част на глава XIV). Тези глави са почти независими една от друга. Марковските вериги от глава XV са свързани по идея с рекурентните събития, но те могат да се изучават и независимо, ако читателят е готов да ги приеме без доказателството на основната ергодична теорема.

Глава III е сама за себе си. Нейното съдържание е изградено самостоятелно, но главата е също извънредно илюстративна за нови прозрения и нови методи в теория на вероятностите. Резултатите, отнасящи се до флуктуациите при хвърляне на монета, показват, че широко поддържаните мнения относно закона за големите числа са погрешни. Впрочем те са толкова удивляващи иг несъгласувани с обикновената интуиция, че дори колегите схоластици се съмняват, че монетите действително се държат нечестно, както предсказва теорията. Затова в дял 6 са включени данни от имитационен опит. Главата разглежда само прости игри на подхвърляне на монета, но резултатите са характерни за едно сравнително общо положение.

Знакът → е използван за означаване края на доказателство или на група от задачи.

Надяваме се, че обширният указател ще улесни координацията между отделните части.


WILLIAM FELLER (1906—1970): AN INTRODUCTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS APPLICATIONS. VOLUME I, THIRD EDITION, JOHN WILEY & SONS, HOBOKEN, NEW JERSEY