Монография.

Монография содержит обзор по теориям особенностей и бифуркаций и их приложениям. Примерно половина книги посвящена математическому аппарату теории, который излагается с самых азов; не предполагаются известными даже простейшие понятия геометрии многообразий и линейной алгебры. Вторую половину занимают приложения - к теории упругости, теории остойчивости судов, оптике, термодинамике, теории фазовых переходов, гидродинамике и т. д.

Книга рассчитана на математиков-прикладников, а также инженеров и других специалистов, работающих в указанных областях знания.

*

Содержание

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ

1 ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТЕПЕННЫЕ И ВНЕЗАПНЫЕ
1 Катастрофы
2 Зимонова машина катастроф
3 Качалки
4 Теория катастроф

2 МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1 Теоретико-множественные обозначения
2 Эвклидовы пространства
3 Линейные преобразования
4 Матрицы
5 Квадратичные формы
6 Кубические формы от двух переменных
7 Геометрия многочленов

3 МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ
1 Расстояние в эвклидовом пространстве
2 Производная как касательная
3 Горизонтали
4 Частные производные
5 Высшие производные
6 Ряд Тейлора
7 Усеченная алгебра
8 Теорема об обратной функции
9 Теорема о неявной функции

4 КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ
1 Критические точки
2 Лемма Морса
3 Функции одной переменной
4 Функции нескольких переменных
5 Лемма расщепления
6 Структурная устойчивость
7 Многообразия
8 Трансверсальность
9 Трансверсальность и устойчивость
10 Понятие трансверсальности для отображений
11 Коразмерность

5 СНОВА МАШИНЫ
1 Машина Зимана
2 Каноническая катастрофа сборки
3 Динамика машины Зимана
4 Качалки
5 Постановка общей проблемы

6 СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
1 Эквивалентность семейств
2 Структурная устойчивость семейств
3 Физическая интерпретация структурной устойчивости
4 Лемма Морса и лемма расщепления для семейств
5 Геометрия катастроф

7 КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ТОМА
1 Функции и семейства функций
2 Однопараметрические семейства
3 Нотрансвсрсальность и симметрия
4 Двухпараметрические семейства
5 Трох-, четырех- и пятипараметрические семейства
6 Высшие катастрофы
7 Теорема Тома

8 КОНЕЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ДЕФОРМАЦИИ
1 Конечная определенность и сильная конечная определенность
2 Пространства струй от одной переменной
3 Иифинитезимальные замены переменных
4 Более слабые условия конечной определенности
5 Преобразования, сдвигающие начало
6 Касание и трансверсальность
7 Коразмерность и деформации
8 Трансверсальность и универсальность
9 Сильная эквивалентность деформаций
10 Числа, ассоциированные с особенностями
11 Некоторые неравенства
12 Сводка результатов и вычислительных приемов
13 Примеры и вычисления
14 Необходимые замечания о терминологии

9 ГЕОМЕТРИЯ СЕМИ ПЕРВЫХ КАТАСТРОФ
1 Объекты изучения
2 Катастрофа складки
3 Катастрофа сборки
4 Катастрофа ласточкина хвоста
5 Катастрофа бабочки
6 Эллиптическая омбилика
7 Гиперболическая омбилика
8 Параболическая омбилика
9 Линейчатые поверхности

10 ОСТОЙЧИВОСТЬ СУДОВ СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
1 Плавучесть
2 Равновесие
3 Остойчивость
4 Судно с вертикальными бортами
5 Геометрия кривой центров величины
6 Метацентры ФОРМЫ СУДОВ
7 Эллиптическое судно
8 Прямоугольное судно
9 Трехмерный случай
10 Плавучие буровые платформы
11 Сравнение с общепринятым подходом
11 ГЕОМЕТРИЯ ЖИДКОСТИ

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ
1 Что мы описываем
2 Функции тока
3 Примеры течений
4 Завихренность
5 Методы комплексной переменной УСТОЙЧИВОСТЬ И ЭКСПЕРИМЕНТ
6 Замены переменных
7 Эвристическая программа
8 Экспериментальное воплощение РАСЧЕСЫВАНИЕ ПОЛИМЕРНЫХ МОЛЕКУЛ
9 Неньютоново поведение
10 Растягивающие течения 8ЫРОЖДЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
11 Шестивалковая мельница
12 Нелокальное бифуркационное множество для эллиптической омбилики
13 Шестивалковая мельница в растворе полимера
14 2л-валковая мельница

ОПТИКА И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1 Каустики
2 Радуга
3 Вариационные принципы
4 Рассеяние ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
5 Асимптотические решения волновых уравнений
6 Быстро осциллирующие интегралы
7 Универсальные деформации
8 Порядки каустик ПРИЛОЖЕНИЯ
9 Рассеяние на кристаллической решетке
10 Другие каустики
11 Миражи
12 Звуковые удары
13 Гигантские океанские волны

УПРУГИЕ КОНСТРУКЦИИ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
1 Тела под нагрузкой
2 Состояния упругого равновесия
3 Новые моменты, связанные с бесконечномерностью

ЭЙЛЕРОВЫ СТЕРЖНИ
4 Конечно-элементный подход
5 Классический (1744 г.) вариационный подход
6 Анализ возмущений
7 Современный функциональный анализ
8 Выпучивание пружины
9 Предварительно выпученный стержень

ГЕОМЕТРИЯ ПРОЩЕЛКИВАНИЯ
10 Чувствительность к несовершенству
11 (г, ^-устойчивость
12 Оптимизация
13 Симметрия; стержни и оболочки

ВЫПУЧИВАНИЕ ПЛАСТИН
14 Уравнения Кармана
15 Деформация двойного собственного значения

ДИНАМИКА
16 Мягкие моды
17 Жесткость

14 ТЕРМОДИНАМИКА И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
1 Уравнение ван дер Ваальса
2 Ферромагнетизм

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
3 Энтропия
4 Трансформации принципа максимума энтропии
5 Преобразование Лсжандра
6 Явные потенциалы
7 Теория Ландау

ФЛЮКТУАЦИИ И КРИТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
8 Классические показатели
9 Топологические попытки починить теорию
10 Роль флюктуации
11 Пространственные вариации
12 Статистические суммы
13 Группа перенормировок
14 Структурная устойчивость ренормалиэации РОЛЬ СИММЕТРИИ
15 Четные функции
16 Формы вращающихся звезд
17 Нарушения симметрии
18 Трикритические точки
19 Симметрии кристаллов
20 Особенности спектров

15 ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1 Атомы
2 Поле
3 Взаимодействие
4 Измерения

КАТАСТРОФЫ ЛАЗЕРА
5 Деформация гамильтониана
6 Уравнения движения
7 Приближение среднего поля
8 Граничные условия
9 Многообразие неравновесных стационарных состояний

ЭКСПЕРИМЕНТЫ
10 Лазерный переход
11 Оптическая бистабильность
12 Распределение фотоответов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ
13 Равновесные граничные условия
14 Многообразие равновесия

ДОПОЛНЕНИЕ 2
КАТАСТРОФЫ В ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ
ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ЛИТЕРАТУРЕ

ЛИТЕРАТУРА ПО ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
ЛИТЕРАТУРА. ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

**

Введение к Теория катастроф и её приложения, Постон Т.:

После появления в середине 60-х годов первых слухов о готовящейся книге Ренэ Тома "Stabilite structurelle et mor-phogenese", вышедшей в конце концов в 1972 году1, быстро возрос интерес к предмету, известному теперь как теория катастроф. Том предложил использовать топологическую теорию динамических систем, ведущую начало от работ Пуанкаре, для моделирования разрывных изменений в явлениях природы, и особенно в биологии; он указал на важность в этих рассмотрениях требования структурной устойчивости,, или нечувствительности к малым возмущениям. Он также отметил, что при некоторых условиях из этого требования вытекает, что изучаемую систему можно описать локально посредством одной из семи стандартных форм — элементарных катастроф.

Помимо величайшего интереса идеи Тома породили и величайшую смуту, а в последнее время и величайшие споры. Скороспелые утверждения об универсальности теории (частью неверные заявления, основанные на смешении элементарных и неэлементарных катастроф, а частью преувеличения, которые надо отнести на счет "юношеского энтузиазма" в новой области) повторялись слишком часто без должных оговорок. К тому же кое-где распространилось мнение, что теория катастроф является "чисто качественной", и возник раскат между теми, кто думает, что это хорошо, и теми, кто так не думает. Наличие у теории широкого ряда предшественников во многих областях (что само ло себе является проявлением типичности, о которой мы будем говорить в главе 7) привело некоторых к заключению. что эта теория вообще ничего нового не содержит. Спекулятивные распространения теории за рамки, вне которых ее применимость уже не гарантируется соответствующим математическим формализмом, были ошибочно восприняты как настоящие приложения; разгоревшиеся в этих.областях споры управляющим образом подействовали в других разделах науки, где рассматриваются совсем иные задачи.

Все эти недоразумения и неправильные понимания можно в целом объяснить непривычным математическим языком, на котором излагается теория, и общим стремлением математиков подчеркивать те аспекты теории, которые не всегда согласуются с практическими требованиями ученых-прикладников. Поэтому, например, Тьюринг в ответ на обвинение, что вычислительные машины работают сугубо детерминистически, отвечал, что именно гак его просили их проектировать. То же и с топологами, занимающимися теорией катастроф, которые описывают все "качественно",— с той лишь разницей, что просили об этом они сами себя. Вы желаете чисел — пожалуйста, они у нас есть; но большинство топологов попросту не хотят чисел, они ищут "качеств" — хотя порой эти качества и получают ужасающе алгебраическое и даже числовое выражение. Эти проблемы были обострены отсутствием подходящих источников для изучения теории, которые должны лежать где-то между двумя крайностями — непробиваемыми курсами топологии и чересчур рыхлыми популяризациями.

Наша первая цель в этой книге — разъяснить относящуюся сюда математику на языке, доступном научным работникам, знакомым с конечномерным анализом и в небольшом объеме с линейной алгеброй. Это ставит теорию катастроф на ее истинное место как продолжение анализа или его развитие в собственных рамках (а не радикально новое направление или заменитель всех старых методов, как иногда считают). Это также делает ясными и ограничения теории. Если не уяснить себе с достаточной степенью подробности точные математические предпосылки и то, каким образом из них выводятся заключения, нельзя составить правильного представления о том, что теория может, а чего нет. Не раз говорилось, что теорему Тома можно применять, не понимая математики, стоящей за ней; мы не согласны с этим. Более того, мы не согласны с подразумеваемым здесь утверждением, что применять надо именно теорему Тома; анализ большинства серьезных и успешных приложений показывает, что методы и понятия, стоящие за этой теоремой, часто имеют большую важность, чем она сама.

Вторая наша цель — разрушить миф, что теория катастроф является чисто качественной. Мы достигаем этой цели напрямую, давая обзор некоторых из ее количественных приложении. Мы сосредотачиваем свое внимание на физических науках, где существующая математическая теория естественно ведет к задачам, подпадающим под действие методов теории катастроф, и где эти методы можно использовать как математический инструмент для получения количественной информации, допускающей экспериментальную проверку. Мы делаем особый упор на вычислительных аспектах.теории и тех явных расчетах, которые с ее помощью можно произвести, иллюстрируя всё это как математическими примерами, так и приложениями. Методы теории катастроф играют в физических науках ясно определенную (хотя и не универсальную) рать, и важно, чтобы полемике по поводу ее менее прочно стоящих приложении не было позволено затемнить этот факт.

Математические главы, составляющие первую половину книги, в принципе не дают ничего большего, чем представление о теории, такой, как она сейчас сложилась; новым в нашем подходе является использование "обычной" математики (входящей в стандартный багаж научных работников) для мотивировки принятого в теории катастроф стиля мышления и получаемых результатов. Мы не приводим строгих доказательств сильных теорем (где и заключена самая глубокая и самая новая математика), но по-новому выявляем геометрическую суть соответствующих рассуждений, что объясняет (лучше, чем строго формальное изложение), почему верны эти результаты. Независимо от всяких приложений, математические теоремы теории катастроф представляют собой существенный вклад в важную и естественную проблему — исследование особенностей семейств гладких функций. Наше изложение этих теорем может также оказаться полезным в качестве содержащего мотивировки введения для тех, кто пожелает изучить эту математику более глубоко.

Один из результатов, которые мы здесь доказываем явно (используя лишь элементарный анализ),— это важная лемма о расщеплении, с помощью которой можно уменьшить (и часто радикально) число переменных в рассматриваемой задаче. Некоторым этот результат кажется наиболее удивительным во всей теории; его по существу классическая природа, как и он сам но себе, заслуживают большей известности.

Вторая половина книги отведена приложениям. Мы не только обсуждаем уже устоявшиеся и хорошо известные приложения, но приводим и совсем недавние результаты, которые менее известны, и даже материал, еще не появлявшийся в печати. К последней категории приложений относятся: исследование устойчивости идеализированной плавучей платформы а главе 10; сечения миражей и звуковых ударов в главе 11; количественное использование нелокального бифуркационного множества катастрофы эллиптической омбилики в главе 12 в связи с изучением течений жидкости; части главы 13 об упругих конструкциях, особенно трактовка катастрофы двойной сборки при выпучивании пластин; многое из главы 14 о термодинамике; теория пчел и новые катастрофі,і с ограничениями в главе 16, а также материал, относящийся к образованию биохимических и экологических границ. В главе 15 всё — новое и целиком принадлежит Бобу Гилмору и Лоренцо Нардуччн.

Читатель, уже знакомившийся ранее с литературой по теории катастроф, встретится здесь со многим, чего он раньше не видел, а также и с некоторыми прежними любимцами. На деле теперешний взрывной рост в теории катастроф таков, что если бы эта книга пошла в печать летом 1976 года, то, грубо говоря, половина материала по приложениям не могла бы быть включена в нее. Время сильно поджимало нас в работе над книгой (надеемся, что это не слишком отразилось на оставшихся в ней ошибках), и этот нажим лишь частично исходил от издателей — мы постоянно ощущали за спиной горячее дыхание самого предмета.

Подробный список обсуждаемых нами приложений можно найти на страницах оглавления, и мы не будем его повторять. В связи с этим списком необходимо сделать два замечания. Первое: мы старались, насколько только было возможно, консультироваться у специалистов в соответствующих областях приложений, удостоверяться, что наше изложение отвечает духу сегодняшнего мышления в этих областях. Это, конечно, не значит, что знатоки будут согласны с нашим теоретизированием. Но, во всяком случае, у читателя не создастся впечатления (которое остается от слишком многих работ), что вся физика, участвующая в приложениях, принадлежит девятнадцатому веку. Проповедуя, что физика слишком цепляется за математику девятнадцатого века (а в некоторых областях, как нам кажется, дело обстоит именно так), надо избегать аналогичной ошибки в обратную сторону. Не будучи сами физиками, судостроителями, биологами, инженерами, мы взяли бы на себя слишком много, если бы надеялись, что целиком преуспели в своей попытке, но во всяком случае мы старались.

Второе замечание состоит в том, что многие из приложений, особенно в главах 11 — 13, относятся к системам, описываемым уравнениями в частных производных. Да, именно так, несмотря на тот факт, что "законными" являются здесь лишь системы, описываемые уравнениями из некоторого специального класса обыкновенных дифференциальных уравнений.