СЪДЪРЖАНИЕ:

Предговор към българския читател б

Глава I. Алгебра на множествата

§ 1. Понятие за множество 9

§ 2. Сбор на множества 13

§ 3. Сечение на множества. Закони на поглъщането и дистрпбутивността 16

§ 4. Разлика на множества. Връзки между разликата и действията събиране и пресичане на множества 20

§ 5. Пространство. Допълнение на множество 23

§ 6. Аксиоми на алгебрата на множествата 27

§ 7. Тяло множества 27

§ 8. Съждителни функции на една променлива 29

§ 9. Забележка относно аксиомите на теорията на множествата 31

§ 10. Бележки върху нуждата от аксиоматично изложение на теорията на множествата и за аксиоматическите теории 32

Упражнения 33

Глава II. Естествени числа. Индуктивни доказателства

§ 1. Аксиоматично разглеждане на естествените числа. Принцип на индукцията 36

§ 2. Примери за индуктивни доказателства 41

Упражнения 45

Глава III. Функции

§ 1. Понятие за функция 46

§ 2. Обратими функции. Обратна функция 50

§ 3. Суперпозиция на функции 54

§ 4. Група от преобразувания 50

Упражнения 57

Глава IV. Обобщени сборове и сечения на множества

§ 1. Понятие за обобщени сборове и сечения 50

§ 2. Свойства на обобщените сборове и сечения на множества 54

Упражнения 57

Глава V. Декартово произведение на множества. Релации. Функциите като релации

§ 1. Декартово произведение 71

§ 2. Двучленни релации 72

§ 3. Съждителни функции на две променливи 75

§ 4. Рефлексивни, антирефлексивни, симетрични, несиметрични, антисиметрични и транзитивни релации 76

§ 5. Функциите като релации 79

Упражнения 80

Глава VI. Обобщени Декартови произведения. Многочленни релации. Функции на няколко променливи. Образи и първообрази, определени чрез функции

§ 1. Обобщени декартови произведения 83

§ 2. m-членни релации 86

§ 3. Съждителни функции на m променливи 87

§ 4. Функции на много променливи 89

§ 5. Образи и първообрази, определени чрез функции 89

Упражнения 99

Главa VII. Релации на еквивалентност

§ 1. Дефиниция на релация на еквивалентност Принцип на абстракцията 101

§ 2. Приложение на принципа на абстракцията за построяване на целите числа 104

§ 3. Приложение на принципа на абстракцията за построяване на рационалните числа 106

§ 4. Някои бележки върху Канторовата теория на реалните числа 107

Упражнения 108

Глава VIII. Мощност на множества

§ 1. Равномощни множества. Мощност на множество 110

§ 2. Изброими множества 112

§ 3. Примери за неизброими множества 117

§ 4. Неравенства за кардиналните числа. Теорема на Кантор - Бернщайн 119

§ 5. Множества с мощност на континуума 123

§ 6. Множество на подмножества. Теорема на Кантор. Изводи от теоремата на Кантор 127

Упражнения 130

Глава IX. Наредени множества

§ 1. Релации на наредба 132

§ 2. Максимални и минимални елементи 136

§ 3. Подмножества на наредените множества. Лема на Куратовски-Цорн J4Q

§ 4. Сведения за решетките 144

§ 5. Релации на полунаредба 144

§ 6. Сведения за насочените множества 146

Упражнения 147

Глава X. Линейно наредени множества

§ 1. Релации на линейна наредба 149

§ 2. Подобие (изоморфизъм) на линейно наредени множества 152

§ 3. Гъста линейна наредба 157

§ 4. Непрекъсната линейна наредба 158

Упражнения 161

Глава XI. Добре наредени множества

§ 1. Релации на добра наредба. Ординални числа 163

§ 2. Сравняване на ординалните числа 167

§ 3. Множества от ординални числа 172

§ 4. Мощности на ординалните числа. Кардинално число 173

§ 5. Теорема за трансфинитната индукция. Трансфинитни редици 175

§ 6. Теорема за дефиниране чрез трансфинитна индукция 177

§ 7. Теорема на Цермело за възможността на добра наредба на всяко множество. Бележки върху аксиомата за избора 180

§ 8. Доказателство на лемата на Куратовски-Цорн 182

§ 9. Хипотеза на континуума 184

Упражнения 185

Глава XII. Съждигелно смятане и неговото приложение при математическите доказателства

§ 1. Предварителни сведения 187

§ 2. Съждителни функтори 18/

§ 3. Понятие за закон на съждителното смятане 198

§ 4. Понятие за правила за доказване. Правило на отделяне 203

§ 5. Равнозначни съждения и равнозначни съждителни функции 206

§ 6. Правила на отделянето за еквиваленцията 209

§ 7. Логически квадрат 210

§ 8. Правила на условния силогизъм 213

§ 9. Правила за доказване с конюнкция и дизюнкция 216

§ 10. Правила на опростяване на Фреге, на Дунс Скот и на Клавий 219

§ 11. Апагогически доказателства 220

§ 12. По-важни закони на съждителното смятане и тяхното приложение 224

§ 13. Аксиоматично разглеждане на съждителното смятане 229

Упражнения 238

Глава XIII. Елементи на функционалното смятане и неговото приложение при математическите доказателства

§ 1. Квантификатори и съждителни функции на една променлива 240

§ 2. Квантификатори с област, ограничена чрез съждителна функция 243

§ 3. Квантификатори и съждителни функции на m-променливи 245

§ 4. Закони на функционалното смятане 249

§ 5. Закони за включване и изключване на квантификатори 255

§ 6. Закони за дистрибутивност на квантификаторите 260

§ 7. Закони за преименуване и закони за разместване на квантификаторите 266

§ 8. Правила за доказване 268

§ 9. Квантификаторите и обобщен сбор и обобщено сечение на множества 273

§ 10. Примери за прилагане на функционалното смятане при математически доказателства 276

§ 11. Бележка относно формализираните математически теории 283

Упражнения 290

Глава XIV. Елементарни понятия ка абстрактната алгебра

§ 1. Абстрактни алгебри 292

§ 2. Подалгебри. Множества на генераторите 293

§ 3. Подобни алгебри. Хомоморфизъм. Изоморфизъм 295

§ 4. Конгруенции. Факторалгебри 301

§ 5. Умножаване на алгебри 306

§ 6. Алгебрични функции 307

§ 7. Класове от алгебри, дефинируеми чрез равенство 312

§ 8. Свободни алгебри 319

§ 9. Построяване на свободни алгебри за някои класове алгебри 323

Упражнения 330

Предметен указател 332

Именен указател

Указател насимволите 338