Голямото откритие решава някоя голяма проблема, но зрънце откритие има и в решението на всяка задача. Може задачата, която решавате да е скромна, но ако тя възбуди вашето любопитство и въведе в действие вашите изобретателни способности, то ако я решите със собствени сили, ще можете да изпитате напрежението, свързано с едно откритие и да почувствувате радостта, свързана с него. Такива преживявания, особено когато стават на по-крехка възраст, могат да създадат склонност към умствена работа и да оставят отпечатъка си върху ума и характера на човека за цял живот.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор ........................................................3

У вод ............................................................6

Част I. В клас

Предназначение на списъка..........................................8

1. Подпомагане на учекикас ........................................8

2. Въпроси, препоръки, мил оени операции .................8

3. Общността ......,......................................9

•1. Здрав смисъл ................................................9

5. Учителят и ученикът. Подражение и практика ....................9

Главни раздели и главни въпроси на списъка........... . . И

6. Четири фази ..................................................11

7. Разбиране на задачата ..............................11

8. Пример ...............................12

9. Съставяне на план ............................................13

10. Пример ..........................14-

11. Провеждане на плана .................... • 15

12. Пример ...............................16

13. Поглед върху решението ..................16

14. Пример »...........................17

15. Различни подходи .....................20

16. Методът на учителя за задаване на въпроси ...........20

17. Добри и лоши въпроси . ...................21

Още примери............................22

18. Една задача за построение ..................22

19. Една задача за доказателство .................23

20. Една задача за скорост на процес ...............26

Част II. Как да се решава задача ......29

Диалвг ...............................291

Част III. Кратък речник на еврисгиката ... 32

Ако не можете да решите.пос.тавената задача ..............32

Аналогията .........................- • • 32

Болца но ..............................33

Бъдещият магевдтик ........................38

Видоизменяне на задачата .....................39

Вгзможьо ли е да се удовлетвори ус/Озието? ..............42

Главоблъсканици ......................................................43

Декарт . ............................44

Дефиниция ..............................44

Диагноза .......... . ................49

Еврисгика ........... .................50

Евристично разсъждение ......................50

Ето задача, сродна с вашата и решена преди ..............50>
Задачи за намиране, задачи за'доказване .................52

Защо са нужни доказателства? ........................53

Използвали ли сте всичките данни? ...................58

Индукция и математическа индукция .............• 60

Интелигентният <'решавач» па задачи . ................ 65

Интелигентни ят читател .......................66

Кое t неизЕес1 ното? .........................66

Лайбниц ..............................67

Лема .............................. 67

Можете ли да използвате резултата? . .................. 67

Можете ли да получите резултата по друг начин? ............70

Можете ли да преформулирате задачата? ................ 72

Можете ли да проверите резултата? .................. 72

Мъдростта на поговорките ......................73

Направете чертеж .......................... 76

Напредване и достижение .. • . ....................76

Обобщението ............................ 79

Означения ......................... 80

Отделяне на различните час ги на условието . ,.............84

Пап ................................85

Парадокс на изобретателя ......................89

Педантизъм и майсторство . .....................89

Подсъзнателна работа . . . ................... ■ . 90

Познавате .<¡и сродна задача? ..................... 91

Помощна задача ...........................92

Помощни елементи ..........................96

Правила за откриване ........................99

Правила за стила .......................\ . 99

Правила на преподаването .........................99

Практически задачи .........................'00

Провеждане на плана ........................103

Проверка по размерност ........................105

Работене отзад-напред ........................107

Разгледайте неизвестното ..... . ................ 111

Разлагане и рекомбиниране ...................- - 115

Reductio ad al'siirdum и косвено доказателство .............122

Цешителност, надежда и успех . ;...................128

Симетрията . . . .....................'.....129

Следствието ..............................129

Специализацията ..........................129

Срещали ли сте тази задача по-рано? ..................134

Съвременната евристика ......................134

Съставянето на уравнения ...........................137

Термините, стари и нови .............'..........140

Традиционният професор по математика .................141

Условиети ................-............142

Фигурите ....................' . -.......142

Шаблонна задача ..........................145

Щастлива идея ...........................146

Как да се решава задача (Списък от върпоси и указания) .........148
Задачи за намиране, задачи за доказване .................52

Защо са нужни доказателства? .................. • • ■ 53

Използвали ли сте всичките данни? ...................5о

Индукция и математическа индукция .............■ 60

Интелигентният ?решавач» на задачи .................. 65

Интелигентният читател ..........................66

Кое е неизЕес1ното? .........................66

Лайбниц .............................. 67

Лема ................... .......... €7

Можете ли да използвате резултата? .........................67

Можете ли да получите резултата по друг начин? . *............ 70

Можете ли да преформулирате задачата? ................72

Можете ли да проверите резултата? ........-.........72

Мъдростта на поговорките .......................73

Направете чертеж .......................... 76

Напредване и достижение ........................76

Обобщението .............................. 79

Означения .......................... • • • . 80

Отделяне на различните части на условието . ,.............84

Пап ................................85

Парадокс на изобретателя ......................89

Педантизъм и майсторство . • ......................89

Подсъзнателна работа ........................90

Познавате ли сродна задача? .....................91

Помощна задача ...........................92

Помощни елементи ..........................96

Правила за откриване ..................... • • 99

Правила за стила . . . ........................

Правила на преподаването ...................^ • ■ 99

Практически задачи .........................‘00

Провеждане на плана ........................*03

Проверка по размерност .......................105

Работене отзад-напред.........................107

Разгледайте неизвестното ..... • ................ 111

Разлагане и рекомбиниране .................... . 115

Нее!ис1:10 ас1 аЬзпг^пи и косвено доказателство .............122

Решителност, надежда и успех ......................128

Симетрията . ... ............................129

Следствието ..............................129

Специализацията ..........................129

Срещали ли сте тази задача по-рано? ..................134

Съвременната евристика ...................... 134

Съставянето на уравнения ...........................137

Термините, стари и нови .......................140

Традиционният професор по математика ..................141

Условието ................-............142

Фигурите ..............................142

Шаблонна задача ..........................145

Щастлива идея ...........................146

Как да се решава задача (Списък от върпоси и указания) .........148


ПРЕДГОВОР
Голямото откритие решава някоя голяма проблема, но зрънце откритие има и в решението на всяка задача. Може задачата, която решавате да е скромна, но ако тя възбуди вашето любопитство и въведе в действие вашите изобретателни способности, то ако я решите със собствени сили, ще можете да изпитате напрежението, свързано с едно откритие и да почувствувате радостта, свързана с него. Такива преживявания, особено когато стават на по-крехка възраст, могат да създадат склонност към умствена работа и да оставят отпечатъка си върху ума и характера на човека за цял живот.

В тава отношение учителят по математика има големи възможности. Ако той запълни полагаемото му се време с дресиране на своите ученици в шаблонни операции, той ще убие интереса у тях, ще спъне тяхното умствено развитие и ще злоупотреби с предоставената му възможност. Ако той обаче възбуди любопитството на своите ученици, като им поставя задачи, съразмерни с техните познания и им помага да решават тези задачи чрез стимулиращи въпроси, той ще може да им създаде навик за самостоятелно мислене, а също и да им даде известни средства за такова мислене.

С чудесни възможности в това отношение разполага и всеки студент от колеж, програмата на който включва някои въпроси от математиката. Тези възможности, разбира се, могат да бъдат пропилени, ако той счита математиката за предмет, по които трябва да получи някаква бележка и да забрави всичко колкото е възможно по-скоро след последния изпит. Тези възможности могат да пропаднат дори и когато учащият се притежава известна природна дарба за математиката, тъй като той, както и всеки друг, трябва да открие своите дарби и наклонности; откъде например той би могъл да знае, че обича торта с малини, ако никога не е опитвал такава. Той обаче може да установи, че една математическа задача може да е толкова забавна, колкото една кръстословица и че напрегнатата умствена работа може да е толкова привлекателна, колкото и една напрегната игра на тенис. Изпитал веднаж удоволствие от математиката, той няма да го забрави. Тогава има добри изгледи математиката да стане нещо за него: любителско увлечение, инструмент в неговата професия, професия или голямата амбиция на неговия живот.

Авторът не е забравил времето, когато е бил студент, доста амбициозен студент, жадуващ да разбере поне малко от математиката
зиката. Той слушаше лекции, четеше книги, опитваше се да схване излаганите решения и факти, но имаше един въпрос, който постоянно го смущаваше: «Да, това решение изглежда върви, изглежда е правилно; как обаче е възможно да се открие такова решение? Да, изглежда че този експеримент наистина дава резултат, установява определен факт; как обаче човек може да открие такъв факт? А как аз самият бих могъл да измисля или открия самостоятелно такива неща?» Сега авторът преподава математика в университета и предполага, че някои от по-будните студенти си задават подобни въпроси. Затова той се опитва да задоволи тяхното любопитство. Опитвайки се да разбере не само решението на тази или онази задача, но и мотивите и подходите за намирането му и опитвайки се да обясни на другите тези мотиви и подходи, авторът в края на краищата стигна до написването на тази книга. Той се надява, че тя ще бъде полезна за учителите, които искат да развиват у учениците си способност да решават задачи, и за учениците, които имат силно желание да развиват своите способности.

Макар и в тази книга да е отделено особено внимание на нуждите на учащите се и преподавателите по математика, тя би била интересна за всекиго, който иска да разбере пътищата и средствата за изобретя-ване и откриване. Може да се окаже, че такъв интерес е значително по-разпространен, отколкото би могло да се предположи по чисто умозрителни съображения. Мястото, което отделят популярните вестници и списания на кръстословици и други главоблъсканици показва, че хората отделят известно време за решаване на задачи, които нямат практическо значение. Зад желанието да се реши една или друга задача, която не предлага материална изгода, може да се открие едно по-дълбоко любопитство, желание да се схванат пътищата и средствата, мотивите и подходите към решението.

Следващите страници са написани донякъде сбито, ио по възможно най-простия начин и са резултат на продължително и сериозно изучаване на методите за решаване на задачи. Този вид изследване, който някои автори наричат евристика, днес не е на мода, но има голямо минало, а може би и известно бъдеще.

Когато изучаваме методите за решаване на задачи, пред нас изпъква другата страна на математиката. Да, математиката има две лица: от една страна, тя е строгата наука на Евклид, но в същото време е и нещо друго. Математиката, изложена в стила на Евклид, може да изглежда систематична, дедуктивна наука. Но математиката в процеса на нейното създаване представлява експериментална, индуктивна наука. И двата тези аспекта са толкова стари, колкото е стара и самата математика. В едно отношение обаче вторият аспект е нов: математиката «in statu nascendi» — в процеса на откриването й — никога по-рано не е излагана по този начин нито пред ученици, нито пред учители, нито пред широката публика.

Предметът на евристиката има многообразни връзки с другите науки; математиците, логиците, психолозите, педагозите и дори философите могат да претендират, че различни нейни дялове принадлежат на техните специални области. Авторът добре разбира възможността да