Издание четвертое, переработанное и дополненное.

*

ПРЕДИСЛОВИЕ

Четвертое издание «Краткого курса математического анализа для втузов» выпускается в значительно переработанном виде. Главная цель переработки заключалась в том, чтобы привести «Курс» в соответствие с программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР в 1964 г.

Параграфы и пункты, относящиеся к той части программы, которая может не изучаться во втузах с уменьшенным объемом курса математики (это относится главным образом к специальностям технологического профиля), отмечены звездочками; читатель может выпустить эти пункты без всякого ущерба для понимания остального текста. Звездочками отмечены также относящиеся к этим пунктам вопросы для самопроверки, помещенные в конце каждой главы.

За последние годы в серии «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов» вышел ряд книг (см. перечень литературы), которые могут служить учебными пособиями по изучению дополнительных разделов математики. Именно поэтому в «Курсе» не отражены отдельные пункты общей программы, относящиеся к уравнениям математической физики и функциям комплексного переменного. Специального руководства требует и раздел программы «Методы вычислений и программирование»; из него в «Курс» включены лишь отдельные вопросы (применение дифференциала к теории ошибок, приближенное решение уравнений, численное интегрирование).

Для лучшей фиксации внимания читателя формулировки важнейших определений и теорем даны жирным шрифтом. В книге почти нет материала, выходящего за рамки программы; поэтому мелким шрифтом набраны лишь отдельные замечания.

В «Курсе» разобрано много примеров и задач, относящихся к различным разделам механики и физики. Изучение их безусловно необходимо для овладения методами математического анализа и, что особенно важно для будущих инженеров, методами применения анализа к решению конкретных физических задач.

Книга ставит своей целью не просто сообщить читателю те или иные необходимые ему сведения по математическому анализу. Она предназначена и для того, чтобы развить у читателя логическое и математическое мышление, расширить его математический кругозор. Поэтому большинство положений высказывается с точным перечислением условий, при которых они справедливы. Все места, где даются упрощенные доказательства, но возможности оговариваются. Точно так же отмечаются все теоремы, которые приводятся без доказательств.

Читатель, заинтересованный в более глубоком и детальном изучении курса анализа, должен обратиться к более полным руководствам; некоторые из них приведены в списке литературы.

Включение в «Курс» ряда новых разделов потребовало в некоторых случаях довольно существенной переработки старого текста; при этом большое внимание было уделено упрощению и уточнению формулировок определений и теорем. Писать об этих изменениях вряд ли целесообразно: учащемуся, впервые читающему книгу, они ничего не скажут; преподаватели, рекомендующие этот курс студентам, легко обнаружат их сами1).

При изучении математики во втузах порядок прохождения материала часто бывает связан не только внутренней логикой курса, но и сроками прохождения дисциплин, опирающихся на этот курс. Именно в связи с этим перенесен вперед (по сравнению с предыдущими изданиями) параграф о векторной функции скалярного аргумента, так как нужда в нем в курсе теоретической механики возникает очень рано. Главы второй половины книги образуют циклы (VIII и IX, X, XI и XII), которые могут изучаться почти независимо друг от друга. При этом глава X—дифференциальные уравнения — опирается лишь на самые простые сведения о функциях многих переменных.

А. Ф. Бермант, создавший первоначальный вариант этого «Курса», скоропостижно скончался 26 мая 1959 г. До сих пор жива память о нем — талантливом ученом и педагоге, кипучем организаторе, отдавшем очень много сил делу повышения математической культуры в нашей стране. Все изменения и дополнения как в первое, так и в последующие издания внесены мною.

В процессе работы я часто пользовался советами моих товарищей— математиков. Всем им выражаю свою искреннюю признательность.
И. Г. Араманович

-----------------
*) Отметим только, что в этом издании в определение функции включается обязательное требование ее однозначности; в связи с этим иначе трактуются вопросы о неявных и обратных функциях.