Учебник для студентов вузов физической и механико-математической специальностей с добавлениями, учитывающими интересы математической физики. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.

Первый том содержит дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных, ряды и интегральное исчисление для функций одной переменной.

Второй том содержит кратные интегралы, теорию поля, ряды Фурье и интеграл Фурье, дифференцируемые многообразия, дифференциальные формы и интеграл Лебега.


Илл. 132.

*

Предисловие (първи том)

Этот учебник, выходящий в двух томах, соответствует, если не счита: некоторых добавлений, программе курса математического анализ читаемого мною уже много лет в Московском физико-техническом институте.

Первая глава носит вводный характер. В ней на основе интуитивных представлений о пределе вводятся основные понятия математического анализа и даже на основании наглядных и физических соображений устанавливается связь между производной и интегралом и даются элементы техники дифференцирования и интегрирования, нужные читателю, изучающему параллельно физику.

Вторая глава посвящена действительному числу. В основу поня- тия числа взято его представление в виде бесконечных десятичных дробей. Только часть этой главы — крупный шрифт, — рассматривается как обязательная. При желании она может быть еще уменьшена. Я придерживаюсь точки зрения, впрочем, традиционной, что основные факты математического анализа сначала должны быть изложены для функций одной переменной, а затем уже для многих переменных. Здесь неизбежны повторения, но они незначительны. С другой стороны, для такой аудитории, какой являются студенты наших мехматов, физматов и физтехов, вполне возможно переходить от одной не к двум и не к трем, а сразу же к п переменным.

Весь вопрос тут только в удачных обозначениях. Но они уже выработаны в журнальной и монографической литературе, целесообразность их уже проверена и теперь они должны становиться достоянием наших учебников. Такой подход обеспечивает правильную перспективу. Ведь во второй половине курса, — в таких разделах как ряды Фурье, интеграл Фурье, — читателю придется овладевать представлением о бесконечномерное:tm: функциональных пространств. В своем изложении я достаточно рано ввожу понятие л-мерпого евклидова пространства, пространства со скалярным произведением, банахова пространства и широко пользуюсь этими понятиями, однако, в меру необходимости выполнения программы.

Как требуется - программами, изложение курса ведется на основе интеграла Римана. Я старался аналогичные теоремы в одномерном и многомерном случаях доказывать аналогично, чтобы сэкономить силы читателя для других вопросов.

Очень деликатный вопрос — как быть с полнотой пространств L и L2? Чтобы решить этот вопрос, я не строю абстрактные элементы, заменяющие функции, интегрируемые по Лебегу, и в основном тексте ограничиваюсь только разъяснениями о том, как соответствующий факт выглядел бы в терминах интеграла Лебега.

Впрочем, учебник снабжен добавочной главой 19 (том II), посвященной интегралу Лебега. Я уверен, что многие мои читатели по собственной инициативе будут заглядывать в нее. Они от этого ничего не потеряют. Современная математическая физика, которую им придется изучать, нуждается в интеграле Лебега. Например, прямые вариационные методы математической физики немыслимы без употребления интеграла Лебега. К чтению главы 19 читатель будет вполне подготовлен после того как он познакомится с понятием меры Жордана.

Главы 17 и 18 (том II) тоже дополнительные. В главе 18 уделено место таким важным понятиям современного анализа, как усреднение функции по Соболеву и разбиение единицы. По-настоящему они должны входить в обязательные программы повышенных курсов анализа.

Глава 17 посвящена дифференцируемым многообразиям и дифференциальным формам. Кульминационным ее пунктом является доказательство теоремы Стокса в д-мерном пространстве. Эта глава можег служить проверкой того, насколько оказался подготовленным читатель, освоивший эту книгу.

Я желал, чтобы мой читатель, освоив курс, легче ориентировался в методах математической физики. Ряд добавлений сделан именно исходя из интересов математической физики. Большое поле деятельности здесь возникает при изложении вопросов, связанных с функциями многих переменных. Здесь наша педагогическая мысль должна еще поработать. Я надеюсь, что и моя книга вносит некоторую лепту в это трудное дело.

Я хочу отметить книги, оказавшие на меня большое влияние. Во-первых, это «Курс анализа бесконечно малых» Ш. Ж. де ла Валле-Пуссена. Двухтомник Валле-Пуссена, память которого я хочу здесь почтить, я старательно изучал будучи студентом, а теперь он служит моей настольной книгой.
Во-вторых, это книга «Введение в теорию функций действительного переменного» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, которую я тоже в свое время старательно изучил и, следуя ей, читал свои курсы в Днепропетровском университете. Но я, кроме того, неоднократно слушал лекции этих двух выдающихся авторов, один из них — А. Н. Колмогоров — мой научный учитель. Выражаю им здесь свою глубокую благодарность.

Я хочу выразить свою признательность коллективу кафедры математики Московского физико-технического института, с которым я работаю двадцать пять лег, в течение которых много раз обсуждались вопросы преподавания математического анализа. Конечно, при этом я должен особо выделить моих коллег проф. Л. Д. Кудрявцева, заведующего кафедрой, и проф. О. В. Бесова, беседы с которыми были особенно интенсивными.

С первыми главами рукописи книги детально ознакомились мои коллеги проф. Е. А. Волков и проф. П. И. Лизоркин, отметив имеющиеся там недочеты, которые я устранил. Главу 17, посвященную дифференциальным формам, внимательно прочитал проф. Р. В. Гамкрелидзе; многие его советы я учел. Мне были очень полезны также советы проф. А. А. Дезина, с которым я беседовал по этому вопросу.

Мои официальные рецензенты академик И. Н. Веку а и кафедра
математики Московского института электронного машиностроения весьма благожелательно отнеслись к моей книге; они дали ряд полезных советов, которыми я воспользовался.
Я учел, конечно, и советы моего коллеги, редактора книги А. А. Вашарина, тщательно прочитавшего текст рукописи и проверившего его во всех деталях.

Всем указанным лицам я приношу свою глубокую благодарность.

С. М. Никольский